2.1 تصنيف الدوال |
Classifying Functions
د/ فهد مبارك الشمري
2.1.1 الدوال الزوجية والفردية |
Even and Odd Functions
الدالة الزوجية
نقول إن الدالة زوجية إذا تحقق و لجميع قيم .
من أمثلة الدوال الزوجية
الدالة الفردية
نقول إن الدالة فردية إذا تحقق و لجميع قيم .
2.1.2 الدوال المحدودة والغير محدودة |
Bounded and Unbounded Functions
v نقول أن الدالة f محدودة على مجموعة A، ، إذا وجد عدد بحيث
ونكتفي بالقول أن f محدودة إذا كانت محدودة على مجالها .
مثال 1 إثبات أن الدالة محدودة
أثبت أن
هي دالة محدودة.
الحل. تذكر أن . اختر ، ليصبح
شكل1
من بيان الدالة f، انظر شكل1، يتضح أن أكبر قيمة للدالة تقع عند وأصغر قيمة تقع عند الأطراف. n
مثال 2
اعتبر الدالة المعرفة بالقاعدة
شكل2 |
لاحظ أن f ليست محدودة على أي فترة مغلقة تحتوي الصفر حيث لا يوجد عدد موجب M بحيث تنحصر قيم الدالة على تلك الفترة بين و .
2.1.3 الدالة الشاملة |
Surjective Function
نقول إن الدالة شاملة (أو غامرة) عندما أي إذا تحقق الشرط:
لأي يوجد بحيث
مثال 3
· الدالة
ليست شاملة لأن لا يوجد له بحيث . تذكر .
· الدالة
هي دالة شاملة: لأي لدينا لذا ، وبالتالي نأخذ لنجد أن
n
2.1.4 الدوال الأحادية |
One to One Functions
بعبارة مختصرة الدوال الأحادية هي تلك الدوال التي يمكن تمييز العناصر من خلال صورها. بدقة أكثر
v نقول إن الدالة أحادية (أو متباينة) إذا أعطت كل عنصرين مختلفين من A صورتين مختلفتين في B. هذا يعني إذا تطابقت صورتا عنصرين فإن العنصرين لابد متطابقان. وبالتالي
× لإثبات أن f أحادية: نفترض أن حيث ونثبت أن .
× لإثبات أن f ليست أحادية: يجب تعيين عنصرين مختلفين بحيث .
مثال 4
أثبت أن
هي دالة أحادية.
الحل. افترض أن حيث هذا يعني
n
إذا عرفنا الدالة g على مجالها المعتاد، أي كامل R ، فإنها لن تكون أحادية. أي أن الدالة
ليست أحادية إذ أن عنصران مختلفان بحيث . بيانيا هذا يعني وجود النقطتين و على بيان الدالة f، هذا يعني أن
والدالة g لاحظ أن الإحداثيات الصادية، قيم y، لنقاط
مثال 5
بين أن
هي دالة تقابل (أحادية وشاملة).
الحل. لإثبات أحادية f نفرض أن بحيث ، أي
لإثبات أن f شاملة: لأي فإن وبالتالي فإن . باختيار :
n
اختبار المستقيم الأفقي
إذا أمكن رسم مستقيم أفقي يقطع بيان الدالة أكثر من مرة فالدالة ليست أحادية فإن لم يوجد مثل هذا المستقيم فالدالة أحادية.
مثال 6
أي البيانات التالية تمثل دالة أحادية؟
مثال 7
بين فيما إذا كانت الدالة أحادية أم لا؟
الحل. افرض أن بحيث :
إذن فالدالة f أحادية. n
ملاحظة بطريقة مشابهة يمكن إثبات أن كل دالة خطية حيث هي دالة أحادية.
مثال 8
بين فيما إذا كانت الدالة أحادية أم لا؟
الحل. افرض أن حيث :
ملاحظة كون الدالة أحادية أم لا تتغير بإجراء أي انسحاب أو تمدد أو تقلص.
2.2 الدوال المثلثية |
Trigonometric Functions
2.2.1 |